Calcolare il massimo e il minimo assoluti della funzione y=2x³+3x²-12x nell’intervallo -4≤ x≤4.


1) Calcoliamo la derivata della funzione:

y’=6x²+6x-12

2) Imponiamo y’=0:

6x²+6x-12=0

Dividiamo entrambi i membri per 6:

x²+x-2=0

Utilizziamo la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado:

x_1,2=(-b±√b_²-4ac)/(2a)=(-1±√1+8)/2=(-1±3)/2

Quindi x₁=(-1-3)/2=-2, mentre x₂=(-1+3)/2=1.

I valori -2 e 1 sono entrambi accettabili, in quanto compresi tra -4 e 4 (vedi limitazioni).

3) Poiché la funzione è razionale intera (polinomio), non esistono valori per cui y=2x³+3x²-12x non risulti derivabile.

4) Confronto tra le ordinate: le ascisse corrispondenti al massimo e al minimo possono essere: gli estremi del dominio (-4 e 4), i punti dove si annulla la derivata (-2 e 1), o quelli dove la derivata non esiste (nessuno).
Sostituiamo quindi nella funzione, al posto della x, i valori -4, -2, 1 e 4:

a) f(-4)=2(-4)³+3(-4)²-12(-4)=-128+48+48=-32
b) f(-2)=2(-2)³+3(-2)²-12(-2)=-16+12+24=20
c) f(1)=2·1³+3·1²-12·1=2+3-12=-7
d) f(4)=2·4³+3·4²-12·4=128+48-48=128

Il minimo è il più piccolo valore tra quelli che abbiamo calcolato, cioè -32, mentre il massimo è il più grande, ovvero 128. La funzione y=2x³+3x²-12x, nell’intervallo -4≤ x≤4, ammette quindi minimo per x=-4 e massimo per x=4.

N.B. Si noti che, in questo esercizio, nonostante la derivata si annulli in due punti, nessuno dei due è minimo o massimo assoluto per la funzione.